Contoh soal akhir matematika kelas xi sma ips semester 2

Mempersiapkan Ujian Akhir Matematika Kelas XI SMA IPS Semester 2: Kumpulan Soal dan Pembahasan Lengkap

Pendahuluan

Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, namun bagi siswa SMA jurusan Ilmu Pengetahuan Sosial (IPS), pemahaman konsep-konsep matematika memiliki peran krusial dalam mengembangkan pola pikir logis, analitis, dan kemampuan memecahkan masalah. Kemampuan ini tidak hanya bermanfaat dalam lingkup akademis, tetapi juga sangat aplikatif dalam kehidupan sehari-hari, terutama di bidang ekonomi, statistik, dan pengambilan keputusan.

Ujian Akhir Semester (UAS) matematika kelas XI IPS semester 2 mencakup beberapa topik penting yang menjadi fondasi untuk jenjang pendidikan selanjutnya atau aplikasi di dunia kerja. Topik-topik tersebut umumnya meliputi Matriks, Barisan dan Deret (termasuk aplikasinya), serta Statistika. Untuk membantu siswa mempersiapkan diri dengan optimal, artikel ini akan menyajikan kumpulan contoh soal yang representatif dari masing-masing topik, dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang detail. Tujuannya adalah agar siswa tidak hanya menghafal rumus, tetapi benar-benar memahami konsep dan strategi penyelesaiannya.

A. Matriks

Matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang diatur dalam baris dan kolom. Konsep matriks sangat fundamental dalam berbagai bidang ilmu, mulai dari ilmu komputer, ekonomi, hingga fisika. Dalam matematika kelas XI IPS, fokus utama adalah pada operasi dasar matriks, determinan, invers matriks 2×2, dan penerapannya dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.

Konsep Penting:

• Ordo Matriks: Ukuran matriks (jumlah baris x jumlah kolom).
• Jenis-jenis Matriks: Matriks persegi, matriks nol, matriks identitas, dll.
• Operasi Matriks: Penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar, perkalian antar matriks.
• Determinan Matriks (2×2 dan 3×3): Nilai skalar yang dihitung dari elemen-elemen matriks persegi.
• Invers Matriks (2×2): Matriks yang jika dikalikan dengan matriks aslinya akan menghasilkan matriks identitas.
• Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Matriks: Menggunakan metode invers atau Cramer.

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 1: Operasi Matriks
Diberikan matriks A = $beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix$ dan B = $beginpmatrix 5 & 6 -2 & 0 endpmatrix$.
Tentukan:
a. A + B
b. 2A – B
c. A $times$ B

Pembahasan:
a. A + B
Untuk penjumlahan matriks, kita menjumlahkan elemen-elemen yang berada pada posisi yang sama.
A + B = $beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix$ + $beginpmatrix 5 & 6 -2 & 0 endpmatrix$
= $beginpmatrix 2+5 & -1+6 3+(-2) & 4+0 endpmatrix$
= $beginpmatrix 7 & 5 1 & 4 endpmatrix$

b. 2A – B
Pertama, kalikan matriks A dengan skalar 2. Kemudian, kurangkan hasilnya dengan matriks B.
2A = 2 $beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix$ = $beginpmatrix 2 times 2 & 2 times -1 2 times 3 & 2 times 4 endpmatrix$ = $beginpmatrix 4 & -2 6 & 8 endpmatrix$
2A – B = $beginpmatrix 4 & -2 6 & 8 endpmatrix$ – $beginpmatrix 5 & 6 -2 & 0 endpmatrix$
= $beginpmatrix 4-5 & -2-6 6-(-2) & 8-0 endpmatrix$
= $beginpmatrix -1 & -8 8 & 8 endpmatrix$

c. A $times$ B
Untuk perkalian matriks, baris dari matriks pertama dikalikan dengan kolom dari matriks kedua.
A $times$ B = $beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix$ $beginpmatrix 5 & 6 -2 & 0 endpmatrix$
= $beginpmatrix (2 times 5) + (-1 times -2) & (2 times 6) + (-1 times 0) (3 times 5) + (4 times -2) & (3 times 6) + (4 times 0) endpmatrix$
= $beginpmatrix 10+2 & 12+0 15-8 & 18+0 endpmatrix$
= $beginpmatrix 12 & 12 7 & 18 endpmatrix$

Soal 2: Determinan dan Invers Matriks
Diberikan matriks C = $beginpmatrix 3 & -2 5 & -4 endpmatrix$.
Tentukan:
a. Determinan matriks C (det(C))
b. Invers matriks C ($C^-1$)

Pembahasan:
a. Determinan matriks C (det(C))
Untuk matriks 2×2 $beginpmatrix a & b c & d endpmatrix$, determinannya adalah ad – bc.
det(C) = $(3 times -4) – (-2 times 5)$
= $-12 – (-10)$
= $-12 + 10$
= $-2$

b. Invers matriks C ($C^-1$)
Rumus invers matriks 2×2 adalah $C^-1 = frac1textdet(C) beginpmatrix d & -b -c & a endpmatrix$.
$C^-1 = frac1-2 beginpmatrix -4 & -(-2) -5 & 3 endpmatrix$
$= frac1-2 beginpmatrix -4 & 2 -5 & 3 endpmatrix$
$= beginpmatrix frac-4-2 & frac2-2 frac-5-2 & frac3-2 endpmatrix$
$= beginpmatrix 2 & -1 frac52 & -frac32 endpmatrix$

Soal 3: Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Matriks
Selesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan metode matriks:
$2x + y = 7$
$3x – 2y = 0$

Pembahasan:
Langkah 1: Ubah sistem persamaan ke dalam bentuk matriks AX = B.
$beginpmatrix 2 & 1 3 & -2 endpmatrix beginpmatrix x y endpmatrix = beginpmatrix 7 0 endpmatrix$
Di sini, A = $beginpmatrix 2 & 1 3 & -2 endpmatrix$, X = $beginpmatrix x y endpmatrix$, dan B = $beginpmatrix 7 0 endpmatrix$.

Langkah 2: Hitung determinan matriks A.
det(A) = $(2 times -2) – (1 times 3)$
= $-4 – 3$
= $-7$

Langkah 3: Hitung invers matriks A ($A^-1$).
$A^-1 = frac1textdet(A) beginpmatrix -2 & -1 -3 & 2 endpmatrix$
$= frac1-7 beginpmatrix -2 & -1 -3 & 2 endpmatrix$
$= beginpmatrix frac-2-7 & frac-1-7 frac-3-7 & frac2-7 endpmatrix$
$= beginpmatrix frac27 & frac17 frac37 & -frac27 endpmatrix$

Langkah 4: Hitung X = $A^-1$ B.
X = $beginpmatrix x y endpmatrix$ = $beginpmatrix frac27 & frac17 frac37 & -frac27 endpmatrix beginpmatrix 7 0 endpmatrix$
$= beginpmatrix (frac27 times 7) + (frac17 times 0) (frac37 times 7) + (-frac27 times 0) endpmatrix$
$= beginpmatrix 2+0 3+0 endpmatrix$
$= beginpmatrix 2 3 endpmatrix$
Jadi, $x=2$ dan $y=3$.

B. Barisan dan Deret

Barisan dan deret adalah urutan bilangan yang mengikuti pola tertentu. Topik ini penting karena banyak aplikasinya dalam perhitungan keuangan (bunga, cicilan, pertumbuhan), fisika, dan berbagai bidang lainnya. Untuk IPS, aplikasi dalam ekonomi seringkali menjadi fokus.

Konsep Penting:

• Barisan Aritmetika: Barisan yang selisih antara dua suku berurutan selalu tetap (beda, $b$).
  • Rumus suku ke-n ($U_n$): $U_n = a + (n-1)b$
  • Rumus jumlah n suku pertama ($S_n$): $S_n = fracn2(a + U_n)$ atau $S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$
• Barisan Geometri: Barisan yang perbandingan (rasio, $r$) antara dua suku berurutan selalu tetap.
  • Rumus suku ke-n ($U_n$): $U_n = ar^n-1$
  • Rumus jumlah n suku pertama ($S_n$): $S_n = fraca(r^n – 1)r-1$ (untuk $r > 1$) atau $S_n = fraca(1 – r^n)1-r$ (untuk $r < 1$)
• Deret Geometri Tak Hingga: Jumlah suku-suku barisan geometri yang terus menerus. Hanya konvergen jika $|r| < 1$.
  • Rumus jumlah ($Sinfty$): $Sinfty = fraca1-r$
• Aplikasi Barisan dan Deret: Pertumbuhan penduduk, peluruhan zat, bunga majemuk, cicilan.

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 4: Barisan Aritmetika
Suku ke-4 dan suku ke-9 dari suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 11 dan 26.
Tentukan:
a. Suku pertama ($a$) dan beda ($b$) barisan tersebut.
b. Suku ke-15 ($U15$).
c. Jumlah 10 suku pertama ($S10$).

Pembahasan:
a. Suku pertama ($a$) dan beda ($b$)
Diketahui: $U_4 = 11$ dan $U_9 = 26$.
Menggunakan rumus $U_n = a + (n-1)b$:
$U_4 = a + (4-1)b implies a + 3b = 11$ (Persamaan 1)
$U_9 = a + (9-1)b implies a + 8b = 26$ (Persamaan 2)

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
$(a + 8b) – (a + 3b) = 26 – 11$
$5b = 15$
$b = 3$

Substitusikan $b=3$ ke Persamaan 1:
$a + 3(3) = 11$
$a + 9 = 11$
$a = 2$
Jadi, suku pertama ($a$) adalah 2 dan beda ($b$) adalah 3.

b. Suku ke-15 ($U_15$)
$U_15 = a + (15-1)b$
$= 2 + (14)3$
$= 2 + 42$
$= 44$

c. Jumlah 10 suku pertama ($S_10$)
$S_10 = frac102(2a + (10-1)b)$
$= 5(2(2) + (9)3)$
$= 5(4 + 27)$
$= 5(31)$
$= 155$

Soal 5: Barisan Geometri
Sebuah barisan geometri memiliki suku ke-3 adalah 12 dan suku ke-5 adalah 48.
Tentukan:
a. Suku pertama ($a$) dan rasio ($r$).
b. Jumlah 6 suku pertama ($S_6$).
c. Jika barisan ini tak hingga, tentukan jumlah deret geometri tak hingganya.

Pembahasan:
a. Suku pertama ($a$) dan rasio ($r$)
Diketahui: $U_3 = 12$ dan $U_5 = 48$.
Menggunakan rumus $U_n = ar^n-1$:
$U_3 = ar^3-1 implies ar^2 = 12$ (Persamaan 1)
$U_5 = ar^5-1 implies ar^4 = 48$ (Persamaan 2)

Bagi Persamaan 2 dengan Persamaan 1:
$fracar^4ar^2 = frac4812$
$r^2 = 4$
$r = pm 2$. Kita asumsikan rasio positif, jadi $r=2$.

Substitusikan $r=2$ ke Persamaan 1:
$a(2)^2 = 12$
$4a = 12$
$a = 3$
Jadi, suku pertama ($a$) adalah 3 dan rasio ($r$) adalah 2.

b. Jumlah 6 suku pertama ($S_6$)
Karena $r > 1$, gunakan rumus $S_n = fraca(r^n – 1)r-1$.
$S_6 = frac3(2^6 – 1)2-1$
$= frac3(64 – 1)1$
$= 3(63)$
$= 189$

c. Jumlah deret geometri tak hingganya
Karena $r=2$ (yaitu $|r| > 1$), deret ini adalah deret divergen, artinya jumlahnya tidak konvergen ke suatu nilai tertentu atau bisa dikatakan tak hingga.
Catatan: Jika soal meminta deret geometri tak hingga, biasanya rasionya akan dalam rentang -1 < r < 1.

Soal 6: Aplikasi Deret Aritmetika
Sebuah perusahaan memproduksi 2.000 unit barang pada tahun pertama. Setiap tahun, produksi meningkat secara tetap sebanyak 250 unit.
a. Berapa unit barang yang diproduksi pada tahun ke-5?
b. Berapa total unit barang yang diproduksi selama 8 tahun pertama?

Pembahasan:
Ini adalah masalah deret aritmetika dengan $a = 2.000$ dan $b = 250$.

a. Unit barang yang diproduksi pada tahun ke-5 ($U_5$)
$U_n = a + (n-1)b$
$U_5 = 2.000 + (5-1)250$
$= 2.000 + (4)250$
$= 2.000 + 1.000$
$= 3.000$ unit

b. Total unit barang yang diproduksi selama 8 tahun pertama ($S_8$)
$S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$
$S_8 = frac82(2(2.000) + (8-1)250)$
$= 4(4.000 + (7)250)$
$= 4(4.000 + 1.750)$
$= 4(5.750)$
$= 23.000$ unit

C. Statistika (Deskriptif)

Statistika deskriptif adalah cabang statistika yang bertujuan untuk menggambarkan, meringkas, dan menyajikan data agar mudah dipahami. Dalam konteks IPS, kemampuan menganalisis data sangat penting dalam ekonomi, sosiologi, dan penelitian. Fokus utama adalah pada ukuran pemusatan data (mean, median, modus) dan ukuran penyebaran data (jangkauan, kuartil, desil, persentil, varians, simpangan baku), baik untuk data tunggal maupun data kelompok.

Konsep Penting:

• Data Tunggal vs. Data Kelompok: Cara penyajian data.
• Ukuran Pemusatan Data:
  • Mean (Rata-rata): Jumlah semua data dibagi banyaknya data.
  • Median: Nilai tengah setelah data diurutkan.
  • Modus: Data yang paling sering muncul.
• Ukuran Penyebaran Data:
  • Jangkauan (Range): Data terbesar – data terkecil.
  • Kuartil: Membagi data menjadi 4 bagian sama banyak (Q1, Q2, Q3).
  • Desil: Membagi data menjadi 10 bagian sama banyak.
  • Persentil: Membagi data menjadi 100 bagian sama banyak.
  • Jangkauan Interkuartil (Hamparan): $Q_3 – Q_1$.
  • Simpangan Baku (Standard Deviation): Akar dari varians, mengukur seberapa jauh data tersebar dari mean.
  • Varians: Rata-rata dari kuadrat selisih antara setiap data dan mean.

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 7: Ukuran Pemusatan Data Kelompok
Perhatikan tabel distribusi frekuensi nilai ujian matematika berikut:

Nilai Ujian	Frekuensi
40 – 49	5
50 – 59	8
60 – 69	12
70 – 79	10
80 – 89	5
90 – 99	2
Total	42

Tentukan:
a. Mean (rata-rata)
b. Median
c. Modus

Pembahasan:
Untuk mempermudah perhitungan, kita tambahkan kolom titik tengah ($x_i$) dan $f_i x_i$:

Nilai Ujian	Frekuensi ($f_i$)	Titik Tengah ($x_i$)	$f_i x_i$	Frekuensi Kumulatif ($F_k$)
40 – 49	5	44.5	222.5	5
50 – 59	8	54.5	436	13
60 – 69	12	64.5	774	25
70 – 79	10	74.5	745	35
80 – 89	5	84.5	422.5	40
90 – 99	2	94.5	189	42
Total	42		2789

Panjang kelas ($p$) = $50 – 40 = 10$.

a. Mean (rata-rata)
Rumus Mean ($barx$) = $fracsum f_i x_isum f_i$
$barx = frac278942$
$barx approx 66.40$

b. Median
Langkah 1: Tentukan letak median. $N = 42$, maka median terletak pada data ke- $fracN2 = frac422 = 21$.
Langkah 2: Cari kelas median. Data ke-21 berada pada kelas 60 – 69 (karena $F_k$ kelas sebelumnya 13, dan $Fk$ kelas ini 25).
Langkah 3: Tentukan batas bawah kelas median ($L$), frekuensi kelas median ($fmedian$), dan frekuensi kumulatif sebelum kelas median ($Fsebelum$).
$L = 60 – 0.5 = 59.5$
$fmedian = 12$
$Fsebelum = 13$
Rumus Median ($Me$) = $L + left( fracfracN2 – Fsebelumf_median right) times p$
$Me = 59.5 + left( frac21 – 1312 right) times 10$
$= 59.5 + left( frac812 right) times 10$
$= 59.5 + left( frac23 right) times 10$
$= 59.5 + frac203$
$= 59.5 + 6.67$
$approx 66.17$

c. Modus
Langkah 1: Tentukan kelas modus (kelas dengan frekuensi tertinggi). Kelas modus adalah 60 – 69 dengan frekuensi 12.
Langkah 2: Tentukan batas bawah kelas modus ($L$), frekuensi kelas modus ($f_modus$), selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya ($d_1$), dan selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya ($d2$).
$L = 60 – 0.5 = 59.5$
$fmodus = 12$
$d1 = fmodus – f_sebelum = 12 – 8 = 4$
$d2 = fmodus – f_sesudah = 12 – 10 = 2$
Rumus Modus ($Mo$) = $L + left( fracd_1d_1 + d_2 right) times p$
$Mo = 59.5 + left( frac44 + 2 right) times 10$
$= 59.5 + left( frac46 right) times 10$
$= 59.5 + left( frac23 right) times 10$
$= 59.5 + frac203$
$= 59.5 + 6.67$
$approx 66.17$

Soal 8: Ukuran Penyebaran Data Kelompok (Kuartil)
Dari data pada Soal 7, tentukan nilai Kuartil Bawah ($Q_1$).

Pembahasan:
Langkah 1: Tentukan letak $Q_1$. $N=42$, maka $Q_1$ terletak pada data ke- $frac14N = frac14(42) = 10.5$.
Langkah 2: Cari kelas $Q_1$. Data ke-10.5 berada pada kelas 50 – 59 (karena $F_k$ kelas sebelumnya 5, dan $F_k$ kelas ini 13).
Langkah 3: Tentukan batas bawah kelas $Q_1$ ($L$), frekuensi kelas $Q1$ ($fQ1$), dan frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q1$ ($Fsebelum$).
$L = 50 – 0.5 = 49.5$
$fQ1 = 8$
$Fsebelum = 5$
$p = 10$ (panjang kelas)
Rumus Kuartil ($Qk$) = $L + left( fracfrackN4 – Fsebelumf_Q_k right) times p$
$Q_1 = 49.5 + left( frac10.5 – 58 right) times 10$
$= 49.5 + left( frac5.58 right) times 10$
$= 49.5 + frac558$
$= 49.5 + 6.875$
$= 56.375$

D. Peluang

Meskipun terkadang tidak menjadi fokus utama di kelas XI IPS semester