Contoh soal akhit matematika kelas xi ips semester 2

Menaklukkan Ujian Akhir Matematika: Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap Kelas XI IPS Semester 2

Selamat datang para siswa-siswi kelas XI IPS! Tidak terasa, satu semester lagi akan segera berakhir, dan itu berarti ujian akhir semester (UAS) matematika sudah menanti di depan mata. Matematika seringkali menjadi momok bagi sebagian siswa, namun dengan persiapan yang matang, pemahaman konsep yang kuat, dan latihan soal yang cukup, kalian pasti bisa menaklukkannya.

Ujian akhir semester 2 untuk kelas XI IPS umumnya mencakup materi-materi esensial yang akan menjadi dasar bagi pembelajaran di jenjang selanjutnya, serta sangat relevan dengan aplikasi dalam kehidupan sehari-hari dan bidang sosial ekonomi. Topik-topik utama yang akan diujikan meliputi Matriks, Program Linear, Barisan dan Deret, Statistika, dan Peluang.

Artikel ini dirancang khusus untuk membantu kalian dalam persiapan UAS Matematika. Kami akan menyajikan contoh-contoh soal dari setiap topik yang relevan, disertai dengan pembahasan langkah demi langkah yang detail dan mudah dipahami. Mari kita mulai perjalanan menaklukkan ujian akhir ini!

I. Matriks

Matriks adalah susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Konsep matriks sangat penting dalam berbagai bidang, termasuk ekonomi, ilmu komputer, dan statistik. Pada kelas XI IPS, kalian akan mempelajari operasi dasar matriks, determinan, dan invers matriks.

Konsep Kunci:

Ordo Matriks: Ukuran matriks (baris x kolom).
Operasi Matriks: Penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, perkalian antar matriks.
Determinan Matriks: Nilai skalar yang dihitung dari elemen-elemen matriks persegi. (Untuk 2×2 dan 3×3 metode Sarrus).
Invers Matriks: Matriks balikan yang jika dikalikan dengan matriks asalnya menghasilkan matriks identitas. (Umumnya untuk 2×2).
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Matriks: Menggunakan metode invers atau Cramer.

Contoh Soal 1: Operasi Matriks

Diketahui matriks:
$A = beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix$
$B = beginpmatrix -3 & 5 0 & 2 endpmatrix$
$C = beginpmatrix 1 & 0 -2 & 3 endpmatrix$

Tentukan hasil dari $2A + B – C$.

Pembahasan:

Langkah 1: Hitung $2A$ (perkalian skalar)
$2A = 2 times beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix = beginpmatrix 2 times 2 & 2 times (-1) 2 times 3 & 2 times 4 endpmatrix = beginpmatrix 4 & -2 6 & 8 endpmatrix$

Langkah 2: Lakukan penjumlahan $2A + B$
$2A + B = beginpmatrix 4 & -2 6 & 8 endpmatrix + beginpmatrix -3 & 5 0 & 2 endpmatrix = beginpmatrix 4 + (-3) & -2 + 5 6 + 0 & 8 + 2 endpmatrix = beginpmatrix 1 & 3 6 & 10 endpmatrix$

Langkah 3: Lakukan pengurangan $(2A + B) – C$
$(2A + B) – C = beginpmatrix 1 & 3 6 & 10 endpmatrix – beginpmatrix 1 & 0 -2 & 3 endpmatrix = beginpmatrix 1 – 1 & 3 – 0 6 – (-2) & 10 – 3 endpmatrix = beginpmatrix 0 & 3 8 & 7 endpmatrix$

Jadi, $2A + B – C = beginpmatrix 0 & 3 8 & 7 endpmatrix$

Contoh Soal 2: Penyelesaian SPL dengan Invers Matriks

Tentukan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan linear berikut menggunakan metode invers matriks:
$3x + 2y = 12$
$x – y = -1$

Pembahasan:

Langkah 1: Ubah SPL ke dalam bentuk matriks $AX = B$
$beginpmatrix 3 & 2 1 & -1 endpmatrix beginpmatrix x y endpmatrix = beginpmatrix 12 -1 endpmatrix$
Dimana $A = beginpmatrix 3 & 2 1 & -1 endpmatrix$, $X = beginpmatrix x y endpmatrix$, dan $B = beginpmatrix 12 -1 endpmatrix$.

Langkah 2: Cari determinan matriks $A$
$det(A) = (3 times -1) – (2 times 1) = -3 – 2 = -5$

Langkah 3: Cari invers matriks $A$ ($A^-1$)
$A^-1 = frac1det(A) beginpmatrix -1 & -2 -1 & 3 endpmatrix = frac1-5 beginpmatrix -1 & -2 -1 & 3 endpmatrix = beginpmatrix frac15 & frac25 frac15 & -frac35 endpmatrix$

Langkah 4: Hitung $X = A^-1B$
$beginpmatrix x y endpmatrix = beginpmatrix frac15 & frac25 frac15 & -frac35 endpmatrix beginpmatrix 12 -1 endpmatrix$
$beginpmatrix x y endpmatrix = beginpmatrix (frac15 times 12) + (frac25 times -1) (frac15 times 12) + (-frac35 times -1) endpmatrix$
$beginpmatrix x y endpmatrix = beginpmatrix frac125 – frac25 frac125 + frac35 endpmatrix = beginpmatrix frac105 frac155 endpmatrix = beginpmatrix 2 3 endpmatrix$

Jadi, nilai $x = 2$ dan $y = 3$.

II. Program Linear

Program linear adalah metode matematika untuk mengoptimalkan (memaksimalkan atau meminimalkan) suatu fungsi tujuan, dengan mempertimbangkan batasan-batasan (kendala) yang dinyatakan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Materi ini sangat relevan untuk pengambilan keputusan dalam bisnis dan ekonomi.

Konsep Kunci:

Variabel Keputusan: Variabel yang nilainya ingin kita tentukan (misal $x, y$).
Fungsi Tujuan (Objektif): Fungsi yang ingin dioptimalkan (misal $Z = ax + by$).
Fungsi Kendala: Pertidaksamaan linear yang membatasi nilai variabel.
Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP): Daerah pada grafik yang memenuhi semua kendala.
Titik Pojok: Titik-titik ekstrem dari DHP. Nilai optimal (maksimum/minimum) selalu terletak di salah satu titik pojok.

Contoh Soal 3: Optimasi Fungsi Tujuan

Seorang pengusaha kue membuat dua jenis kue, yaitu kue A dan kue B. Untuk membuat kue A, diperlukan 200 gram tepung dan 25 gram gula. Untuk membuat kue B, diperlukan 100 gram tepung dan 50 gram gula. Pengusaha memiliki persediaan tepung 4 kg (4000 gram) dan gula 1,2 kg (1200 gram). Jika keuntungan dari kue A adalah Rp 1.500 per buah dan kue B adalah Rp 1.000 per buah, tentukan keuntungan maksimum yang bisa diperoleh pengusaha tersebut.

Pembahasan:

Langkah 1: Definisikan variabel keputusan
Misalkan:
$x$ = jumlah kue A yang dibuat
$y$ = jumlah kue B yang dibuat

Langkah 2: Rumuskan fungsi tujuan (memaksimalkan keuntungan)
$Z = 1500x + 1000y$

Langkah 3: Rumuskan fungsi kendala

Kendala Tepung: $200x + 100y le 4000$ (Sederhanakan dengan membagi 100: $2x + y le 40$)
Kendala Gula: $25x + 50y le 1200$ (Sederhanakan dengan membagi 25: $x + 2y le 48$)
Kendala Non-negatif: $x ge 0, y ge 0$ (Jumlah kue tidak mungkin negatif)

Langkah 4: Gambarkan DHP dan tentukan titik pojok

Garis $2x + y = 40$
- Jika $x=0$, $y=40$ (Titik (0,40))
- Jika $y=0$, $2x=40 Rightarrow x=20$ (Titik (20,0))
Garis $x + 2y = 48$
- Jika $x=0$, $2y=48 Rightarrow y=24$ (Titik (0,24))
- Jika $y=0$, $x=48$ (Titik (48,0))

Titik pojok DHP adalah:

(0,0)
(20,0) (Perpotongan $2x+y=40$ dengan sumbu $x$)
(0,24) (Perpotongan $x+2y=48$ dengan sumbu $y$)
Titik potong antara $2x + y = 40$ dan $x + 2y = 48$
- Dari $2x + y = 40 Rightarrow y = 40 – 2x$
- Substitusikan ke $x + 2y = 48$:
  $x + 2(40 – 2x) = 48$
  $x + 80 – 4x = 48$
  $-3x = 48 – 80$
  $-3x = -32 Rightarrow x = frac323$
- Substitusikan $x = frac323$ ke $y = 40 – 2x$:
  $y = 40 – 2(frac323) = 40 – frac643 = frac120 – 643 = frac563$
- Jadi, titik potongnya adalah $(frac323, frac563)$.

Langkah 5: Uji titik pojok ke fungsi tujuan $Z = 1500x + 1000y$

(0,0): $Z = 1500(0) + 1000(0) = 0$
(20,0): $Z = 1500(20) + 1000(0) = 30.000$
(0,24): $Z = 1500(0) + 1000(24) = 24.000$
$(frac323, frac563)$:
$Z = 1500(frac323) + 1000(frac563)$
$Z = 500(32) + 1000(frac563)$
$Z = 16000 + frac560003 = frac48000 + 560003 = frac1040003 approx 34666,67$

Jadi, keuntungan maksimum yang bisa diperoleh adalah sekitar Rp 34.666,67. (Karena jumlah kue harus bilangan bulat, dalam prakteknya, kita mungkin perlu memeriksa titik-titik bilangan bulat terdekat di dalam DHP). Namun, untuk soal program linear standar, nilai pecahan ini bisa diterima.

III. Barisan dan Deret

Barisan dan deret membahas pola bilangan yang berurutan. Ada dua jenis utama: barisan/deret aritmetika (selisih antar suku konstan) dan barisan/deret geometri (rasio antar suku konstan).

Konsep Kunci:

Barisan Aritmetika: $U_n = a + (n-1)b$
- $a$ = suku pertama
- $b$ = beda (selisih)
- $U_n$ = suku ke-n
Deret Aritmetika: $S_n = fracn2(a + U_n)$ atau $S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$
- $S_n$ = jumlah n suku pertama
Barisan Geometri: $U_n = ar^n-1$
- $a$ = suku pertama
- $r$ = rasio
Deret Geometri: $S_n = fraca(r^n – 1)r – 1$ (untuk $r > 1$) atau $S_n = fraca(1 – r^n)1 – r$ (untuk $r < 1$)
Deret Geometri Tak Hingga: $S_infty = fraca1 – r$ (untuk $|r| < 1$)

Contoh Soal 4: Barisan dan Deret Aritmetika

Suku ke-4 suatu barisan aritmetika adalah 15, dan suku ke-10 adalah 33. Tentukan suku pertama ($a$), beda ($b$), dan jumlah 20 suku pertama ($S_20$) barisan tersebut.

Pembahasan:

Langkah 1: Gunakan rumus $U_n = a + (n-1)b$ untuk membuat dua persamaan

$U_4 = a + (4-1)b Rightarrow 15 = a + 3b$ (Persamaan 1)
$U_10 = a + (10-1)b Rightarrow 33 = a + 9b$ (Persamaan 2)

Langkah 2: Selesaikan sistem persamaan untuk menemukan $a$ dan $b$
Eliminasi $a$:
$(a + 9b = 33)$
$(a + 3b = 15)$

$6b = 18 Rightarrow b = 3$

Substitusikan $b=3$ ke Persamaan 1:
$15 = a + 3(3)$
$15 = a + 9 Rightarrow a = 15 – 9 = 6$

Jadi, suku pertama ($a$) adalah 6 dan beda ($b$) adalah 3.

Langkah 3: Hitung jumlah 20 suku pertama ($S_20$)
Gunakan rumus $Sn = fracn2(2a + (n-1)b)$
$S20 = frac202(2(6) + (20-1)3)$
$S20 = 10(12 + 19 times 3)$
$S20 = 10(12 + 57)$
$S20 = 10(69)$
$S20 = 690$

Jadi, jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah 690.

Contoh Soal 5: Barisan dan Deret Geometri

Suku ke-2 suatu barisan geometri adalah 6 dan suku ke-5 adalah 48. Tentukan rasio ($r$), suku pertama ($a$), dan jumlah 6 suku pertama ($S_6$) barisan tersebut.

Pembahasan:

Langkah 1: Gunakan rumus $U_n = ar^n-1$ untuk membuat dua persamaan

$U_2 = ar^2-1 Rightarrow 6 = ar$ (Persamaan 1)
$U_5 = ar^5-1 Rightarrow 48 = ar^4$ (Persamaan 2)

Langkah 2: Selesaikan sistem persamaan untuk menemukan $a$ dan $r$
Bagi Persamaan 2 dengan Persamaan 1:
$fracar^4ar = frac486$
$r^3 = 8 Rightarrow r = sqrt[3]8 = 2$

Substitusikan $r=2$ ke Persamaan 1:
$6 = a(2) Rightarrow a = 3$

Jadi, suku pertama ($a$) adalah 3 dan rasio ($r$) adalah 2.

Langkah 3: Hitung jumlah 6 suku pertama ($S_6$)
Gunakan rumus $S_n = fraca(r^n – 1)r – 1$ (karena $r > 1$)
$S_6 = frac3(2^6 – 1)2 – 1$
$S_6 = frac3(64 – 1)1$
$S_6 = 3(63)$
$S_6 = 189$

Jadi, jumlah 6 suku pertama barisan tersebut adalah 189.

IV. Statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, mengolah, menyajikan, menganalisis, dan menafsirkan data. Untuk kelas XI IPS, fokusnya adalah pada pengolahan data berkelompok.

Konsep Kunci:

Data Tunggal vs. Data Berkelompok: Perbedaan dalam penyajian dan perhitungan.
Ukuran Pemusatan Data Berkelompok:
- Mean (Rata-rata): $barx = fracsum f_i x_isum f_i$
  - $f_i$ = frekuensi kelas ke-i
  - $x_i$ = titik tengah kelas ke-i
- Median (Nilai Tengah): $Me = L + (fracfrac12n – Ff)c$
  - $L$ = tepi bawah kelas median
  - $n$ = total frekuensi
  - $F$ = frekuensi kumulatif sebelum kelas median
  - $f$ = frekuensi kelas median
  - $c$ = panjang kelas
- Modus (Nilai Paling Sering Muncul): $Mo = L + (fracd_1d_1 + d_2)c$
  - $L$ = tepi bawah kelas modus
  - $d_1$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
  - $d_2$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
  - $c$ = panjang kelas

Contoh Soal 6: Menghitung Mean, Median, dan Modus Data Berkelompok

Perhatikan tabel distribusi frekuensi nilai ujian matematika siswa kelas XI IPS berikut:

Nilai Ujian	Frekuensi ($f_i$)
41 – 50	3
51 – 60	5
61 – 70	12
71 – 80	10
81 – 90	6
91 – 100	4
Total	40

Tentukan mean, median, dan modus dari data di atas.

Pembahasan:

Langkah 1: Lengkapi tabel untuk perhitungan (titik tengah $x_i$ dan $f_i x_i$, serta frekuensi kumulatif $F_k$)

Nilai Ujian	$f_i$	$x_i$ (Titik Tengah)	$f_i x_i$	$F_k$ (Frekuensi Kumulatif)
41 – 50	3	45.5	136.5	3
51 – 60	5	55.5	277.5	8
61 – 70	12	65.5	786	20
71 – 80	10	75.5	755	30
81 – 90	6	85.5	513	36
91 – 100	4	95.5	382	40
Total	40		2850

Panjang kelas ($c$) = $50 – 41 + 1 = 10$ atau $60 – 51 + 1 = 10$.

a. Menghitung Mean (Rata-rata)
$barx = fracsum f_i x_isum f_i = frac285040 = 71.25$
Jadi, mean nilai ujian adalah 71.25.

b. Menghitung Median (Nilai Tengah)

Letak median = $frac12n = frac12(40) = 20$. Median terletak pada data ke-20.
Dari tabel $F_k$, data ke-20 berada pada kelas 61 – 70.
$L$ (Tepi bawah kelas median) = $61 – 0.5 = 60.5$
$F$ (Frekuensi kumulatif sebelum kelas median) = 8
$f$ (Frekuensi kelas median) = 12
$c$ (Panjang kelas) = 10

$Me = L + (fracfrac12n – Ff)c$
$Me = 60.5 + (frac20 – 812)10$
$Me = 60.5 + (frac1212)10$
$Me = 60.5 + 1 times 10$
$Me = 60.5 + 10 = 70.5$
Jadi, median nilai ujian adalah 70.5.

c. Menghitung Modus (Nilai Paling Sering Muncul)

Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi terbesar, yaitu 61 – 70 (frekuensi 12).
$L$ (Tepi bawah kelas modus) = $61 – 0.5 = 60.5$
$d_1$ (Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya) = $12 – 5 = 7$
$d_2$ (Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya) = $12 – 10 = 2$
$c$ (Panjang kelas) = 10

$Mo = L + (fracd_1d_1 + d_2)c$
$Mo = 60.5 + (frac77 + 2)10$
$Mo = 60.5 + (frac79)10$
$Mo = 60.5 + frac709$
$Mo = 60.5 + 7.78$ (dibulatkan)
$Mo = 68.28$
Jadi, modus nilai ujian adalah sekitar 68.28.

V. Peluang

Peluang adalah cabang matematika yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Ini mencakup konsep dasar peluang, permutasi, dan kombinasi.

Konsep Kunci:

Ruang Sampel ($S$): Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
Kejadian ($A$): Himpunan bagian dari ruang sampel.
Peluang Kejadian ($P(A)$): $P(A) = fracn(A)n(S)$
- $n(A)$ = banyaknya anggota kejadian A
- $n(S)$ = banyaknya anggota ruang sampel
Permutasi ($P_n^r$ atau $P(n,r)$): Banyak cara menyusun $r$ objek dari $n$ objek yang berbeda dengan memperhatikan urutan. $P_n^r = fracn!(n-r)!$
Kombinasi ($C_n^r$ atau $C(n,r)$): Banyak cara memilih $r$ objek dari $n$ objek yang berbeda tanpa memperhatikan urutan. $C_n^r = fracn!r!(n-r)!$
Kejadian Saling Lepas: Dua kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan. $P(A cup B) = P(A) + P

Leave a ReplyCancel Reply